Essence of Linear Algebra) 4.선형변환의 합성과 행렬의 곱

선형변환의 합성

회전변환을 하고 전단변환을 한 새로운 선형변환을 보통 앞서 적용한 두 다른 변환의 합성이라 한다

cf. 전단변환 :  직사각형 형태의 영상을 한쪽 방향으로 밀어서 평행사변형 모양으로 변형되는 변환

 

합성 행렬 (노랑줄 쳐진 행렬)

→ 회전 다음 전단하는 변환의 전체 효과로, 두번의 움직임을 한 번의 동작으로 축약한 것

 

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2x2 행렬의 곱셈

어떤 벡터에 대해 회전변환 후 전단변환을 적용했을 때, 그 전체 결과를 계산하는 방법은

회전변환행렬을 왼쪽에 붙여 벡터에 곱해준 후, 그 왼쪽에 전단변환행렬을 곱해주는 것이다. (회전이 먼저임)

이 계산은 새 합성 행렬과 벡터의 곱셈과 같아야하는데, 새 합성 행렬이 바로 회전 다음 전단한 것이기 때문

 

이 식으로 부터 새로운 행렬 (합성 행렬)을 기존 두 행렬의 곱으로 부를 수 있다 

 

cf. 함수 표기로부터 비롯되기 때문에 오른쪽에서 왼쪽으로 읽음

 

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연산 과정 유도

i^과 j^의 선형변환으로 부터 연산과정을 유도할 수 있다.

 

j^도 같은 방식을 거쳐서 아래와 같은 공식이 되는 것

 

→ 회전 후 전단이라는 점에서 M2와 M1의 위치는 중요하다

why? 회전 후 전단을 하는 것과 전단 후 회전을 하는 것은 다르므 M1 * M2 != M2 * M1 

 

→ 해당 성질로 부터 A(BC) 와 (AB)C 는 같다는 것을 알 수 있다

why? 행렬로 바꿔서 생각하면 오른쪽에서 왼쪽으로 연산되는 것이므로 둘다 C B A 순으로 계산되기 때문

 

 

 

 

출처

• Essence of Linear Algebra

선형대수학의 본질 | 3b1b 한국어