Essence of Algebra) 6. 행렬식

2x2 행렬의 행렬식

$ \begin{bmatrix}
3 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{bmatrix}$ 행렬을, (1,0) 인 i 햇과 (0,1) 인 j햇을 선형변환한 것이라 생각하면 이 넒이 1*1의 정사각형은 변환 후 2*3인 직사각형이 된다.

영역의 넓이가 원래 1에서 6이 되었으므로, 선형변환은 어떤 넓이를 6배 스케일 했다고 말할 수 있다.

 

선형변환으로 인해 어떤 스케일 인자만큼 넓이에 변화가 있을 때, 이 인자를 그 변환의 행렬식이라고 한다.

 

행렬식이 0인 경우는 상당히 중요한데, 행렬의 행렬식이 0인지 확인하면 
해당 행렬에 해당하는 변환이, 차원 자체를 낮추는지 여부를 계산할 수 있기 때문이다

 

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음수 행렬식

이전까지의 설명은 양수일 때만 들어맞고, 음수일 때는 또 다른 경우가 생기는데
넓이를 음의 양만큼 스케일한다는 것은 방향과 관련이 있다

 

(1,0) 인 i햇과 (1,0)인 j햇의 시작 위치는 j햇이 i햇의 왼쪽에 위치한다. 근데 선형변환 후 j햇이 i햇의 오른쪽에 위치한다면

공간의 방향이 뒤집힌 것이고, 방향이 뒤집히는 현상이 일어났을 때의 행렬식이 바로 음수이다

* 단, 이때 행렬식의 절댓값은 여전히 넓이가 스케일된 정도임

 

즉, 행렬식이 음수라는 것의 의미는 변환으로 공간이 뒤집히고 넓이는 행렬식만큼 증가한다는 것이다

 

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3x3 행렬의 행렬식

3x3 행렬의 변환도 얼마나 스케일하느냐에 관한 것인데, 해당 행렬에서는 부피를 얼마나 스케일하느냐이다.

 

1x1x1 의 정육면체는 변환 후, 기울어질 대로 기울어진 평행 육면체가 되는데

행렬식은 부피의 스케일 인자를 주기 떄문에 3x3 행렬의 행렬식은 평행육면체의 부피가 된다.

 

행렬식이 0

만약 행렬식이 0이면 공간의 전체가 부피가 0인 평면, 직선, 점 등 무언가로 변하는데 그 경우, 행렬의 각 열들은 선형종속일 수 박에 없다 (2장 참고)

 

행렬식이 음수

3차원에서 방향을 기술할 때는 오른손 법칙을 사용한다

 

변환 후에도 법칙이 오른손에서 성립하면 방향은 뒤집히지 않은 것이며, 행렬식은 양수이다

만약, 변환 후 법칙이 왼손에서 성립하면 방향은 뒤바뀐 것이고, 행렬식은 음수이다

 

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행렬식 계산

2*2 행렬식 계산                                                                                                3*3 행렬식 계산

 

직관은 강의를 통해서,,, 어렵다,,

 

중요한 것은 계산식이 아니라, 행렬식이 무엇을 나타내는지를 이해하는 것이다!

 

 

 

 

출처

• Essence of Linear Algebra

선형대수학의 본질 | 3b1b 한국어