연립선형방정식의 기하적 해석지수가 붙거나, 변수끼리 곱해져 있지 않고 단지 스케일되어 있는 각 변수가 더해져 있기만 한 연립선형방정식은 행렬-벡터의 곱셈의 형태와 유사하다 해당 표기법으로 기하적 해석에 접근해볼 수 있다행렬은 어떤 선형변환에 대응되기 때문에 방정식 Ax = v를 푸는 것은 변환 후 v가 되는 벡터 x를 구하는 것이다 방정식의 해를 생각하는 방법은, 변환으로 인해 공간 전체가 선이나 점 같은 하위차원으로 찌그러지는지 혹은, 여전히 2차원 전체를 생성하는지 여부에 좌우되는데,이는 행렬식이 0인지, 0이 아닌지 여부에 좌우된다는 것과 같다 (6강 참고) 역행렬; 0이 아닌 행렬식 (det(A) != 0)해당 경우, v에 도달하는 단 하나의 벡터가 존재하며 그 벡터는 변환을 거꾸로 돌리면 찾을 ..
2x2 행렬의 행렬식$ \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$ 행렬을, (1,0) 인 i 햇과 (0,1) 인 j햇을 선형변환한 것이라 생각하면 이 넒이 1*1의 정사각형은 변환 후 2*3인 직사각형이 된다.영역의 넓이가 원래 1에서 6이 되었으므로, 선형변환은 어떤 넓이를 6배 스케일 했다고 말할 수 있다. 선형변환으로 인해 어떤 스케일 인자만큼 넓이에 변화가 있을 때, 이 인자를 그 변환의 행렬식이라고 한다. 행렬식이 0인 경우는 상당히 중요한데, 행렬의 행렬식이 0인지 확인하면 해당 행렬에 해당하는 변환이, 차원 자체를 낮추는지 여부를 계산할 수 있기 때문이다 음수 행렬식이전까지의 설명은 양수일 때만 들어맞고, 음수일 때는 또 다른 경우가 생기는데 넓..
3장, 4장에 대한 각주 3차원 행렬에 대한 선형변환3차원 선형변환을 시각화하면 아래와 같다 이 때 격자선은 역시나 평행하고 균등한 상태를 유지하면서 원점은 고정되어 있고,공간상 움직이는 점 하나하나는 해당 지점에 종점을 갖는 벡터를 나타낸다 3x3 행렬, 행렬-벡터 곱셈3차원 벡터에서는 흔히 쓰는 표준 기저 벡터가 3개 있는데, i^ (x 방향의 단위벡터), Ĵ (y 방향의 단위벡터), k^ (z방향의 단위벡터) 3x3 행렬의 곱셈2x2 행렬의 곱셈과 같이 회전변환행렬 다음 전단변환행렬을 곱해주는 형식 출처Essence of Linear Algebra 선형대수학의 본질 | 3b1b 한국어3Blue1Brown의 대표 시리즈 "Essence of Linear Algebra"의 한국어 번역. 행렬, ..
선형변환의 합성회전변환을 하고 전단변환을 한 새로운 선형변환을 보통 앞서 적용한 두 다른 변환의 합성이라 한다cf. 전단변환 : 직사각형 형태의 영상을 한쪽 방향으로 밀어서 평행사변형 모양으로 변형되는 변환 합성 행렬 (노랑줄 쳐진 행렬)→ 회전 다음 전단하는 변환의 전체 효과로, 두번의 움직임을 한 번의 동작으로 축약한 것 2x2 행렬의 곱셈어떤 벡터에 대해 회전변환 후 전단변환을 적용했을 때, 그 전체 결과를 계산하는 방법은회전변환행렬을 왼쪽에 붙여 벡터에 곱해준 후, 그 왼쪽에 전단변환행렬을 곱해주는 것이다. (회전이 먼저임)이 계산은 새 합성 행렬과 벡터의 곱셈과 같아야하는데, 새 합성 행렬이 바로 회전 다음 전단한 것이기 때문 이 식으로 부터 새로운 행렬 (합성 행렬)을 기존 두 행렬의 곱으로..
변환의 시각화변환이란 함수의 다른 말로, 입력이 들어가면 출력을 내놓는 수학적 구조이다선형대수학에서의 변환은 어떤 벡터를 집어넣을 때 다른 벡터를 내놓는다 그런데 왜 함수라고 쓰지 않고 변환이라 할까?변환이란 단어는 움직임을 사용한다는 것을 내포한다. (변환을 움직임으로 받아들이자)이런 식으로 변환을 생각할 때, 가능한 모든 입출력 벡터 사이의 관계는 공간 내 점이 다른 점으로 움직이는 것으로 나타난다. 선형변환선형인 변환은 두가지 성질을 갖는다모든 직선은 휘지 않고 직선인 상태를 유지원점은 제자리에 고정되어야 함선형변환을 시각적으로 생각할 때는 격자선이 평행하고 균등한 상태를 유지해야 한다 선형변환은 행렬이다선형변환들을 (시각적이 아닌) 수치적으로 기술하는 방법은? 일단, 결과적으로 필요한 것은 두 기..
선형결합[3,-2]의 각 좌표값을 스칼라로써 생각해본다면, 각 좌표값은 벡터들을 늘리고 줄일 것이다. xy 좌표계에는 특수한 벡터 두개가 있음i^ ( i햇, x-단위벡터) : 오른쪽을 가리키는 길이 1의 벡터Ĵ ( j헷, y-단위벡터) : 위쪽을 가리키는 길이 1의 벡터x좌표를 i햇을 스케일하는 스칼라로, y좌표를 j햇을 스케일하는 스칼라로 생각했을 때, [3, -2] 좌표쌍이 나타내는 벡터는 두 스케일된 (i햇과 j햇을 스케일) 벡터의 합이다 (벡터를 '스케일된 두 벡터의 합'으로 봄) 여기서 단위 벡터 i햇과 j햇은 특별한 이름을 가지는데, 이 둘을 xy 좌표계의 기저벡터라고 부름 ( i^ , Ĵ : 좌표계의 기저)→ 즉, [3, -2]에서 스칼라들이 스케일하는 실제 대상들이 바로 이 i햇과 ..
벡터를 바라보는 3가지 관점벡터를 바라보는 관점에는 서로 다르지만 관련된 3가지로 물리학자, 컴퓨터 과학자, 수학자의 관점이 존재한다.물리학자의 벡터 : 공간 상의 한 화살표. 벡터의 길이와 방향이 같다면 어디에 옮겨도 같은 벡터컴퓨터 과학자의 벡터 : 숫자 자료를 배열한 것 (벡터 = 숫자의 나열) : 2차원 벡터란 말은 단지 숫자가 두줄로 배열됐음을 의미 (단, 숫자 위치 중요)수학자의 벡터 : 덧셈과 상수배를 포함해 다른 연산들이 성립할 수만 있다면 뭐든 벡터임해당 관점은 그렇구나~ 정도로만 하면되고, 중요한 것은 선형대수학 내에서는 벡터의 덧셈과 상수배가 중요하다는 것 시리즈 속 벡터의 시각화벡터의 시각화화살표가 떠올라야함. 특히, 꼬리..
